Как найти площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.

Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):

С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме

Итак, мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?

Решение. Просто перемножаем эти числа:

Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:

Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:

Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?

Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:

Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть габаритам комнаты

Это условие соблюдается:

Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно

Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:

Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел

Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна

Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.

Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:

Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:

Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна

Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?

Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:

Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:

Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:

В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.

Ответ: 5 см; 3 см.

Единицы измерения площади: таблицы перевода из одной единицы измерения в другую.

1 кв. см (см²) 100 кв. мм (мм²)
1 кв. дм (дм²) 10 000 кв. мм (мм²)
1 кв. дм (дм²) 100 кв. см (см²)
1 кв. м (м²) 1 000 000 кв. мм (мм²)
1 кв. м (м²) 10 000 кв. см (см²)
1 кв. м (м²) 100 кв. дм (дм²)
1 а 100 000 000 кв. мм (мм²)
1 а 1 000 000 кв. см (см²)
1 а 10 000 кв. дм (дм²)
1 а 100 кв. м (м²)
1 га 10 000 000 000 кв. мм (мм²)
1 га 100 000 000 кв. см (см²)
1 га 1 000 000 кв. дм (дм²)
1 га 10000 кв. м (м²)
1 га 100 а
1 кв. км (км²) 1 000 000 000 000 кв. мм (мм²)
1 кв. км (км²) 10 000 000 000 кв. см (см²)
1 кв. км (км²) 100 000 000 кв. дм (дм²)
1 кв. км (км²) 1 000 000 кв. м (м²)
1 кв. км (км²) 10000 а
1 кв. км (км²) 100 га

— Смотри как ребята здорово поработали! — похвалил зрителей Бом. — И определение площади рассказали, и определение фигуры и квадрата дали, и фигуры построили, и про единицы измерения площади рассказали, и таблицу перевода из одной единицы площади в другую записали, и реквизит на место убрали. Давай угостим их конфетами, которыми мы площадь донышек коробок измерять пытались.

А потом было ещё много интересных цирковых номеров…

Формула площади для круга и эллипса

Круг и эллипс относятся к фигурам, которые состоят из множества точек, соединенных кривыми. Данные фигуры не содержат углов, однако это не значит, что у них нельзя найти площадь.

Площадь круга можно найти двумя способами:

  • через радиус;
  • через диаметр.

Радиус является отрезком, соединяющим центр окружности и точку на самой окружности.

Диаметр, в отличие от радиуса, соединяет 2 точки на окружности, но при этом также проходит через ее центр. По сути, диаметр является удвоенным радиусом.

Через знание формулы площади круга и прямоугольника можно узнать площадь оболочки цилиндра: боковые стороны будут кругами, а основная часть — свернутым прямоугольником.

Эллипс отличается от круга тем, что его радиусы и диагонали не равны, так как некоторые его части находятся на большем отдалении от цента, чем другие.

Для нахождения площади эллипса необходимо знать его оси.

Осями эллипса являются диагонали эллипса, проведенные через самые ближние точки самого эллипса и центр и через самые дальние точки самого эллипса и центр.

Как рассчитать количество обоев на комнату по площади?

На сегодняшний день есть несколько распространенных и простых методов, которые позволяют рассчитать необходимое число обоев.

  • При помощи параметра помещения, числа полосок обоев.
  • При помощи всей площади стен, которые нужно оклеивать.
  • При помощи онлайн калькулятора.

Метод 1

  • Измерьте длину и ширину помещения. Определите общий периметр.
  • Измерьте ширину окна и двери, вычтите из всего периметра.
  • Полученную величину разделите на ту ширину, которую имеют обои.
  • Округлите результат с большую сторону, представьте необходимое число полосок.
  • Разделите на число полосок в одном рулоне.
  • Полученный результат округлите, чтобы получилось целое значение – это и есть нужное число рулонов.

Расчет обоев

Метод 2

Данный метод является точным и самым экономичным. Это касается особенно небольших комнат.

  • Вычислите общую площадь стенок, используя параметры помещения.
  • Определите общую площадь оконных и дверных проемов.
  • Полученный результат вычтите из площади стенок. В итоге у вас получится величина, которая равна площади стен.
  • Рассчитайте площадь обоев в рулоне: умножьте ширину рулона на длину рулона.
  • Разделите общую площадь стенок на площадь одного рулона.
  • Полученный результат округлите, чтобы у вас получилось круглое число. Далее увеличьте число в большую сторону – этот результат покажет вам число необходимых для поклейки обоев.

И 1, и 2 варианты практически идентичны. Но во 2 случае учитывается общая площадь помещения, которую вы планируете обклеить. Следовательно, в данном варианте не стоит приобретать еще 1 рулон в качестве запасного материала.

Метод 3

Данный метод считается более простой, поскольку расчеты за вас будет производить онлайн калькулятор. На сегодняшний день в интернете вы сможете отыскать огромное число сайтов, которые позволяют абсолютно бесплатно пользоваться таким онлайн калькулятором.

Назад в школу

Расчет площади комнаты

Как посчитать площадь комнаты для поклейки обоев на потолок?

Для прямоугольного помещения достаточно перемножить его длину и ширину. Так, квадратура помещения длиной 5,2 м и шириной 3,8 м равна 5,2 х 3,8 = 19,76 м2.

Что делать с пространствами более сложной формы?

  1. Делим их на простейшие геометрические фигуры – прямоугольники и треугольники. Поскольку расчет выполняется в рамках подготовки к ремонту, можно нанести разметку прямо на старое стеновое отделочное покрытие.
  2. Измеряем все стороны каждой из фигур.
  3. Рассчитываем квадратуру поверхности по полученным измерениям. Как вычислить площадь прямоугольника – мы уже вспомнили; для прямоугольного треугольника она равна половине произведения его катетов.
  4. Суммируем полученные результаты.

Помещение сложной формы условно делится на простые геометрические фигуры.

Скажем, если нам удалось разбить пол на прямоугольник размером 3х4 м, еще один прямоугольник размером 2х2,5 м и прямоугольный треугольник с катетами длиной 1 и 1,5 м, общая поверхность пола (и, соответственно, отделываемого потолка) помещения составит (3х4)+(2х2,5)+(1х1,5/2)=12+5+0,75=17,75 м2.

Расчет площади стен

Для подсчета суммарной поверхности сплошных стенок используется тот же алгоритм: измеряются длина и высота каждой стенки, измерения перемножаются, после чего результаты суммируются. Чтобы получить результат за вычетом проемов, нужно, очевидно, вначале рассчитать квадратуру каждого проема, а потом сумму полученных результатов вычесть из общей площади стен.

Как узнать квадратуру поверхности криволинейной стены? Сюрприз: она равна произведению высоты на длину дуги, которую несложно измерить обычной рулеткой.

Давайте решим очередной пример из школьного курса геометрии.

Дано: прямоугольная комната в сталинке размером 4х5 м с одной дверью (0,8х2,05 м) и двумя окнами (1,2х1,8 м).

Высота потолка – 3,2 м.

  1. Суммарная площадь стен будет равна (4х3,2)х2+(5х3,2)х2=57,6 м2.
  2. Проемы займут (0,8х2,05)+(1,2х1,8)х2=1,64+4,32=5,96 м2.
  3. Стены за вычетом проемов – 57,6-5,96=51,64 м2.

Для получения размеров поверхности под оклейку достаточно от произведения периметра на высоту отнять суммарную квадратуру проемов.

Расчет количества обоев

Как рассчитать количество обоев по площади комнаты или ее стен?

Инструкция по грубому подсчету предельно проста: квадратура поверхности под оклейку делится на площадь обоев в рулоне, после чего результат умножается на 1,2 – 1,3 (запас на обрезку) и округляется до целого числа в большую сторону. Чем более сложную форму имеет поверхность, тем больше необходимый запас на подрезку.

Так, при оклейке потолка в прямоугольной комнате размером 20 квадратов ориентировочное количество рулонов размером 10х0,6 м составит 20/(10х0,6)х1,2=1,44 (2 упаковки с учетом округления).

Понятно, что точность результата – ниже всякой критики: количество остатка в каждом рулоне зависит от вполне конкретной длины полосы от стенки до стенки или от пола до потолка, мы же вместо точного подсчета используем статистику. Если цена квадратного метра обоев достаточно высока, лучше поискать методику, дающую большую точность.

Калькулятор, дающий заведомо неточный результат.

Как сделать более точный подсчет?

  1. Ширина поверхности, которая покрывается материалом из одного рулона, рассчитывается исходя из протяженности одной полосы (расстояния от стенки до стенки или от пола до потолка) и габаритов материала в одной упаковке. Скажем, при высоте потолка 3,2 метра и рулоне размером 0,6х10 метров одна упаковка даст нам возможность наклеить три полосы (10/3,2=3,125) общей шириной 3х0,6=1,8 м.
  2. Проемы при подсчете не учитывается. Почему? Да потому, что в большинстве случаев нам приходится делать вырез под проем в целой полосе обоев или в двух смежных полосах; соответствующая проему часть рулона попадает в обрезки.
  3. Суммарная длина стен или потолка делится на ту ее часть, которая будет покрыта обоями из одного рулона. Так, в прямоугольной комнате размером 4х5 метра периметр стен будет равен 4х2+5х2=18 метров; поскольку одна упаковка позволяет оклеить 1,8 метра стены, нам понадобится 18/1,8=10 упаковок.

В прихожей на фото точный расчет дополнительно осложнился необходимостью подгонки рисунка.

Расчет стоимости обоев

Наконец, самый простой этап вычислений. Его сможет выполнить своими руками даже индивидуум, прогуливавший большую часть школьных уроков.

Суммарные затраты на закупку материала получаются простым умножением количества упаковок материала на стоимость каждой из них. Чтобы не испытывать терпение читателей, которые помнят основы арифметики, автор воздержится приводить пример вычислений.

Как посчитать диагональ квадрата?

Первый способ – это всем уже известная и привычная теорема Пифагора. В квадрате все углы прямые, а значит, диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника и сама является их гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Второй способ – это простая формула, которая свойственна исключительно квадратам, и ее нужно просто запомнить. Как известно, все стороны квадрата равны, и именно поэтому математики вычислили следующую формулу для нахождения его диагонали: она равна произведению стороны на корень из двух.

Безусловно, лучше всего просто запомнить формулу длины диагонали квадрата и пользоваться ею всегда, ведь это гораздо быстрее и удобнее. Особенно это чувствуется при решении задач в буквенном виде, где вместо целых больших подкорневых выражений можно обойтись лишь одним произведением.

Как посчитать площадь комнаты в квадратных метрах

Рассчитать площадь комнаты, часто надо при закупке материалов для строительства или ремонта. Например, некоторые виды напольного покрытия продают на квадраты (то есть, на квадратные метры). Чтобы правильно рассчитать его количество, надо знать площадь пола (часто говорят квадратура комнаты, что по сути одно и то же).


Можно найти площадь комнаты зная длину и ширину

Измерения

Берем рулетку, листок бумаги, карандаш и калькулятор. На бумаге рисуем план комнаты. При помощи рулетки измеряем длины всех стен. Измерения проводим на уровне пола — если постройка старая, велика вероятность того, что стены «завалены» в ту или другую сторону. Тем более что определяем площадь пола, так что логичнее измерять вплотную к стенам, но мерную ленту тянуть по полу.


Схема комнаты с нанесенными измерениями

На схеме проставляем измерения. Лучше всего в метрах. Точность измерений — до сантиметра. Это понадобится при покупке материалов, которые продаются на погонные метры — линолеум, ковролин или другие рулонные покрытия. Чтобы посчитать площадь комнаты в квадратных метрах, тоже желательна такая точность. Хоть можно, конечно, и округлить. Но лучше это сделать уже получив результат.

Как высчитать квадратуру комнаты

Имея длину и ширину комнаты прямоугольной формы, цифры надо просто перемножить. На рисунке выше такая комната нарисована справа. Длинная стена равна 7 м, короткая — 4 метрам. Перемножаем 7*4 = 28 квадратных метров. Это и есть площадь этого помещения, пола. Другими словами, мы нашли квадратуру. Используя эту цифру, можно покупать напольное покрытие. Но надо иметь в виду, что требуется некоторый запас — на подгонку, подрезку. Чем сложнее схема укладки и чем больше фрагменты напольного покрытия, тем запас должен быть больше.

Часто комната не прямоугольная, а имеет более сложную форму. Чтобы посчитать площадь такой комнаты в квадратных метрах, ее разбивают на простые фигуры. Если удается — на прямоугольники или квадраты. Например, Г-образную комнату разбивают на два прямоугольника. Затем считают площадь каждого прямоугольника отдельно, потом их складывают.


Как найти площадь комнаты сложной формы

  • Считаем большой прямоугольник: 5 м * 4,35 м = 21,75 м².
  • Находим квадратуру маленького: 2,5 м * 2,65 м = 6,625 м².
  • Площадь пола в этом помещении равна сумме 21,75 м² + 6,625 м² = 28,375 м².

При покупке материалов, проще пользоваться округленными значениями. Чаще всего говорят, что в этом помещении 28,4 квадрата.

Если помещение имеет участок «срезанной» стены, как на рисунке ниже, проще всего дорисовать прямоугольник так, чтобы косая делила его на два треугольника. В этом случае снова-таки получаем Г-образную комнату. Как высчитать ее площадь уже знаем.


Получается, ищем площадь трех прямоугольников

А недостающий участок — это половина маленького прямоугольника. То есть, находим площадь этого маленького прямоугольника, делим ее пополам и прибавляем к размерам Г-образного участка.

Приведем пример расчета подставляя произвольные значения:

  • Большой прямоугольник: 1,75 м *1,93 м = 3,3775 м². Для простоты округлим до 3,38 м².
  • Средний прямоугольник: 1,18 м * 0,57 м = 0,6726 м². Снова округлим до 0,67 м².
  • Самый маленький прямоугольник (в нашем случае это будет квадрат): 0,57 м *0,57 м = 0,3249 м2, после округления имеем 0,33 м².
  • Чтобы найти общую площадь складываем квадратуру двух прямоугольников и добавляем половину площади последнего, самого маленького участка. 3,38 + 0,67 +0,33/2 = 3,38 + 0,67 +0,17 = 4,22 м².

Такая методика — разбиение на простые фигуры — самый удобный и простой метод. Всегда стоит стараться преобразовать сложную фигуру в набор простых. Правда, измерений может потребоваться больше.

Определения и соглашения

  1. Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
  2. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
  3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
  4. Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
  5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = 2

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:

S = P2
16

3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:

S = 2
2

4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:

S = Do2
2

6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 42

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = Dв2

8. Формула площади квадрата через длину отрезка :

S = 2 16
√5

Понятие площади многоугольника

Понятие площади уже знакомо нам из младших классов и повседневной жизни. Эта величина, которая, грубо говоря, характеризует размер плоских фигур. Она показывает, какую часть плоскости занимает та или иная фигура. Исторически понятие площади многоугольника считалось неопределяемым, так же как понятия точка, прямая, плоскость и т. д. Основная же задача геометров (а именно так называют математиков, специализирующихся на геометрии) сводилась к измерению площади.

Как известно, для проведения любых измерений должна существовать некоторая единица измерения. Так, массу измеряют в килограммах, длину – в метрах и т. д. При этом единицы измерения разных величин могут быть связаны друг с другом. С практической точки зрения удобно принять в качестве единицы измерения площади квадрат, сторона которого равна 1 метру. Принимается, что площадь такого квадрата равна 1 квадратному метру (обозначается символом м2):

Аналогично можно определить такие величины, как квадратный сантиметр (см2), квадратный километр (км2), квадратный миллиметр (мм2) и т.д.:

Как мы знаем, иногда в задачах единицу измерения длины не указывают вовсе. Например, говорят, что сторона квадрата равна единице. В таких случаях и площадь является безразмерной величиной. Принимается, что площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице. Такой квадрат называется единичным.

Общепринято, что площадь фигуры обозначается буквой S.

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Формула площади квадрата через периметр

 

В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность. Центром вписанной и описанной окружностей есть точка пересечения диагоналей квадрата. При этом радиусы и вписанной rи описанной R окружностей связаны с длиной его стороны aследующими соотношениями:

Свойства и признаки квадрата (необходимые и достаточные условия того, что четырехугольник – квадрат)

  1. Если четырехугольник – квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.
  2. Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он – квадрат.

Утверждения.

  • Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
  • Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
  • Четырехугольник имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.
  • Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90°

Формула площади для квадрата и прямоугольника

Геометрия, как часть математики, рассматривает целый ряд геометрических фигур: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и многих других.

Геометрические фигуры являются множеством точек на плоской поверхности, которые соединяются прямыми и на выходе становятся разными фигурами с разными особенностями.

Параметры геометрических фигур, такие как длины сторон, периметр, площадь, можно находить разными способами в зависимости от типа фигуры.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь. Понятием площади пользуются как люди науки — математики, физики, так и люди рабочих профессий, например, строители.

Данная характеристика измеряется в единицах измерения в квадрате, например, квадратный сантиметр (см2), квадратный метр (м2), гектар (га).

Квадрат и прямоугольник являются фигурами, у которых есть по 4 прямых угла. Их отличает только длина сторон — у прямоугольника не все 4 стороны равны, они равны попарно относительно противоположных.

Площадь правильно построенного прямоугольника можно найти через перемножение его сторон друг на друга.

С помощью данной формулы можно найти площади классов или комнат, а также стен, что может помочь как в решении математических, так и бытовых задач.

3d моделью прямоугольника можно считать параллелепипед.

Площадь квадрата можно найти двумя способами:

  • по длине стороны в квадрате;
  • по длине диагонали.

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S=a×b, однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

В некоторых случаях необходимо нахождение площади квадрата через диагональ. Это может быть связано с решением определенной геометрической задачи или в связи с практическим удобством.

Расчет квадратных метров площади

Для вычислений понадобится сантиметровая лента или рулетка. При помощи них делают замеры сторон геометрической фигуры правильной формы (прямоугольник, квадрат и другие варианты). Затем все перемножают. После полученных результатов сантиметры необходимо перевести в метры.

Алгоритм:

  • Взять ленту или рулетку, на полотно которых нанесены деления в такой же системе измерения – сантиметры или метры.
  • Измерить длину объекта в двухмерном пространстве – плоскости.
  • Измерить ширину объекта. Край измерительного приспособления с нулевым значением располагают под углом 90° по отношению к длине в углу фигуры.
  • При невозможности сделать замер за один раз, отмерить часть плоскости до конца рулетки (ленты), поставить карандашом или маркером отметку, начать от нее замер следующего участка. Продолжить до конца всей длины или ширины. Цифры записать и сложить.
  • Все полученные значения записать.
  • Цифровое значение длины при помощи калькулятора умножают на цифровое значение ширины – получают число, обозначающее площадь.

Пример:

Длина – 3,42 м

Ширина – 2,15 м

3,42 х 2,15 = 7,353

Округляем до двухзначного числа после запятой – 7,35 кв. м

В любой проектной или технической документации указана длина и ширина объектаИсточник vestnikao.ru

Часто результат не представлен в форме целого числа – в нем отражены как метры, так и сантиметры. Поэтому нужно перевести сантиметры в метры. Тогда легче будет перемножать числа. Пример: 3 метра 78 сантиметров. Один сантиметр равен 0,01 метрам. Перевод осуществляется простым приемом – переносом запятой числа «0,01» на 2 цифры назад (влево).

Пример расчета:

78 см = 0,78 м

3 м 78 см = 3 м + 78 см = 3,78 м

Если взять метровую ленту или рулетку, конечно же, считать будет проще – не понадобится переводить полученные числовые значения в метры. Замеры длины, ширины осуществляют от одной точки (угла) до другой, противоположной точки (угла). Если получается не целое число, то считают не только метры, но и сантиметры. Пример: 3,55 м – 3 метра и 55 сантиметра.

Длина или ширина измеряется строго от одного угла к противоположном по стенеИсточник mypresentation.ru

Когда числа получаются меньше одного метра в миллиметрах, тогда делают округление к ближайшему сантиметру. Пример: 2 метра 4 сантиметра и 3 миллиметра записывают как 2,4 м. Но при установке мебельного каркаса важна абсолютная точность. Поэтому здесь выверяют все до миллиметров. Особенно это касается встраиваемых в стеновые ниши шкафов.

Многоугольник

Правильный полигон — это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы. В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:

  • — пентагон;
  • — гексагон;
  • восемь — октагон;
  • двенадцать — додекагон.

И так далее. Геометры шутят, что круг — это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:

где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.

Для определения площади используется выражение:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).

Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.

Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США — Пентагон, гексагона — пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона — дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.

Оцените статью
О полах
Добавить комментарий